FISICA: UNIDAD # 2 ARTICULOS

UNIDAD # 2

OPERACIONES CON VECTORES NETODO GRAFICO

Los métodos gráficos se clasifican en 2: método del paralelogramo y método del polígono.
El método del paralelogramo es utilizado para suma(o resta) solo de 2 vectores que tiene el mismo origen, cuya solución se basa en trazar líneas paralelas de los mismos vectores y encontrar el vector resultante.
El vector resultante se define como el vector individual que produce el mismo efecto tanto en la magnitud como en la dirección que dos o más vectores concurrentes.

El otro método gráfico es el método del polígono el cual es útil para sumar dos o más vectores pero la condición es que deben ser secuenciales, esto significa que el final del primer vector es el inicio del 2do vector y así sucesivamente. El desarrollo del método se basa en realizar una gráfica que represente la suma de los vectores y obtener el vector resultante uniendo el punto de partida con el punto final.

Desventajas de los métodos gráficos:

- Requieren un alto grado de precisión, mientras mayor sea la escala, se corre un mayor grado de riesgo que el resultado no sea el correcto.
- No existe una forma de asegurar que el resultado es el correcto.
- Depende de tener instrumentos de medición con una exactitud y precisión adecuada al problema.

VECTORES POR EL METODO DEL POLIGONO

Éste es el método gráfico más utilizado para realizar operaciones con vectores, debido a que se pueden sumar o restar dos o más vectores a la vez.
El método consiste en colocar en secuencia los vectores manteniendo su magnitud, a escala, dirección y sentido; es decir, se coloca un vector a partir de la punta flecha del anterior. El vector resultante esta dado por el segmento de recta que une el origen o la cola del primer vector y la punta flecha del último vector.

Encontrar .
Resolviendo por el método del polígono, la figura resultante es:
Si se utilizan los instrumentos de medición prácticos, se obtiene que :

y que θ es aproximadamente 80ª.

Cuando dos vectores se restan, el procedimiento anterior es el mismo, lo único que cambia es el sentido del vector que le sigue al signo menos. Por ejemplo, al restar el vector D2 del vector D1 se tiene:

D1- D2 = D1+ (-D2).

La expresión del miembro derecho de la ecuación anterior designa un cambio en el sentido del vector D2; entonces, la expresión queda como una suma, y por lo tanto, se sigue el procedimiento del método gráfico mostrado anteriormente.
Los métodos gráficos ofrecen una manera sencilla de sumar o restar dos o más vectores; pero cuando las magnitudes de los vectores son demasiado grandes o poseen una gran cantidad de decimales, éstos métodos se vuelven imprecisos y difíciles de manipular a escalas de medición menores.
Es por eso, la necesidad de un método matemático nemotécnico, que permita dar una mayor precisión en el cálculo de vectores resultantes, no sólo en la magnitud, sino además en la dirección de ellas.

METODO DEL PARALELOGRAMO

En este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que también está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de cabezas" . En la figura 1 se ilustra el método.

En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul.

Si la operación se hace graficamente con el debido cuidado, sólo bastaría medir con una regla el tamaño del vector de color negro utilizando la misma escala que utilizó para dibujar los vectores sumandos (el rojo y el azul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se podría averiguar midiendo con un transportador el ángulo que forma con una línea horizontal.

Pero no nos basta con saberlo hacer gráficamente. Tendremos que aprenderlo a realizar analíticamente. Para ello se deben utilizar los teoremas del seno y del coseno y si es un triángulo rectángulo se utilizará el teorema de Pitágoras.

En el caso de la figura 1 las relaciones posibles ent

En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul.

En el caso de la figura 1 las relaciones posibles enre los lados de ese triángulo son las siguientes

Ejemplo:

Supongamos que en dicha figura los vectores sean la magnitud fuerza. Asumamos además que el ángulo entre los vectores sumandos ( el rojo y el azul) es igual a 60.0º y que sus módulos son respectivamente 100 dinas (rojo) y 90.0 dinas (azul). Deseamos calcular el vector resultante.

Para ello empleemos la relación:

su dirección sería

TEOREMA DEL COSENO

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Un cierto número de las demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que

a², b², c² son las áreas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
ab cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de 90°-γ (para una prueba, ver el apéndice).

Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en 2 casos

La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:

En verde, las áreas a², b² la izquierda, y el área , c² a la derecha.

En rojo, el triángulo ABC en ambos diagramas y en amarillo triángulos congruentes al ABC.

En azul, paralelogramos de lados a y b con ángulo 90°-γ.

Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que , equivalente al Teorema del coseno.

PRODUCTO PUNTO

El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.